Question

（2013•南通一模）如圖，已知定點R（0，-3），動點P，Q分別在x軸和y軸上移動，延長PQ至點M，使

PQ

=

1

2

QM

，且

PR

•

PM

=0．
（1）求動點M的軌跡C₁；
（2）圓C₂：x²+（y-1）²=1，過點（0，1）的直線l依次交C₁于A，D兩點（從左到右），交C₂于B，C兩點（從左到右），求證：

AB

•

CD

為定值．

Answer 1

分析：（1）設M的坐標，表示出P，Q的坐標，可得

PR

，

PM

的坐標，利用數量積公式，可得軌跡方程，從而可得軌跡；
（2）由題意，

AB

•

CD

=AB•CD，AB=FA-FB=y₁+1-1=y₁，CD=y₂，設出直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理，即可得到結論．

解答：（1）解：設M（x，y），則
由

PQ

=

1

2

QM

，可得P(-

x

2

，0)，Q(0，

y

3

)
∴

PR

=(

x

2

，-3)，

PM

=(

3x

2

，y)
∵

PR

•

PM

=0，
∴(

x

2

，-3)•(

3x

2

，y)=0
∴x²=4y
∴動點M的軌跡C₁是頂點在原點，開口向上的拋物線；
（2）證明：由題意，

AB

•

CD

=AB•CD，圓C₂：x²+（y-1）²=1的圓心即為拋物線C₁的焦點F
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則AB=FA-FB=y₁+1-1=y₁，
同理CD=y₂，
設直線的方程為x=k（y-1）
代入拋物線方程可得k²y²-（2k²-4）y+k²=0
∴

AB

•

CD

=AB•CD=y₁y₂=1．

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．