Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊為a，b，c，若a²、b²、c²成等差數列，則角B的最值及取最值時三角形面積為（　　）

• A．角B有最小值，此時s=

  1

  2

  a2
• B．角B有最大值，此時s=

  1

  2

  ac
• C．角B有最小值，此時s=

  3

  4

  b2
• D．角B有最大值，此時s=

  3

  4

  a2

Answer 1

分析：由等差數列的定義和性質可得2b²=a² +c² ，再由余弦定理可得 cosB=

a2+c2

4ac

，利用基本不等式可得cosB≥

1

2

，從而求得角B的最大值，并根據三角形的面積公式解之即可．

解答：解：由題意可得 2b²=a² +c² ，由余弦定理可得 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2

4ac

≥

1

2

，當且僅當a=c時，等號成立．
又 0＜B＜π，∴0＜B≤

π

3

，即角B的最大值為

π

3

．
此時面積S=

1

2

acsin

π

3

=

3

4

a²
故選D．

點評：本題主要考查余弦定理、等差數列的定義和性質，以及基本不等式的應用，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．