Question

設x、y∈R,求證:|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.?

Answer 1

證明:充分性:若xy=0,那么,①x=0,y≠0；②x≠0,y=0；③x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,

當x>0,y>0時,|x+y|=x+y=|x|+|y|.

當x<0,y<0時,|x+y|=-(x+ y)=-x+(-y)=|x|+|y|.

總之,當xy≥0時,有|x+y|=|x|+|y|.?

必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R,得

(x+y)²=(|x|+|y|)²,即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y².?

|xy|=xy.∴xy≥0.

溫馨提示:充要條件的證明關鍵是根據定義確定哪是已知條件,哪是結論,然后搞清楚充分性是證明哪一個命題,必要性是證明哪一個命題.

判斷命題的充要關系有三種方法:

(1)定義法.

(2)等價法,即利用AB與BA；BA與AB；AB與AB的等價關系,對于條件或結論是不等關系(否定式)的命題,一般運用等價法.?

(3)利用集合間的包含關系判斷,若AB,則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B,則A是B的充要條件.?