Question

設x、y∈R,求證:|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.

Answer 1

思路解析:要證充分性,需證xy≥0|x+y|=|x|+|y|.

要證必要性,需證|x+y|=|x|+|y|xy≥0.

證明:充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0；②y=0,x≠0；③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.

如果xy＞0,即x＞0,y＞0或x＜0,y＜0,

當x＞0,y＞0時,|x+y|=x+y=|x|+|y|；

當x＜0,y＜0時,|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.

總之,當xy≥0時,有|x+y|=|x|+|y|.

必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)²=(|x|+|y|)²,

即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y²,|xy|=xy,∴xy≥0.

誤區警示

    對證明充要性一類題,先分析清楚充分性是證什么結論,必要性是證什么結論,二者不可顛倒.這也是證這類題易錯點之一.