Question

設x、y∈R,求證:|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.

Answer 1

思路分析：本題要分充分性和必要性兩種情況證明，一方面有xy≥0|x+y|=|x|+|y|；另一方面有|x+y|=|x|+|y|xy≥0.

證明：充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0；②x≠0,y=0；③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.

如果xy＞0,那么x＞0,y＞0或x＜0,y＜0.當x＞0,y＞0時,|x+y|=x+y=|x|+|y|；

當x＜0,y＜0時,|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.

總之,當xy≥0時,有|x+y|=|x|+|y|.

必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R,得(x+y)²=(|x|+|y|)²,即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y²,|xy|=xy.

∴xy≥0.

     充要條件的證明關鍵是根據定義確定哪是已知條件,哪是結論,然后搞清楚充分性是證明哪一個命題,必要性是證明哪一個命題.