Question

若a＞0，a≠1，求證：

1+a2+a4+…+a2n

a+a3+a5+…+a2n-1

＞

n+1

n

（n∈N^*）

Answer 1

分析：利用數學歸納法證明即可（1）證明n=1時，不等式成立；（2）假設n=k時成立，去證明n=k+1時，不等式亦成立即可．

解答：證明：（1）當n=1時，

1+a2

a

=a+

1

a

＞2=

1+1

1

，不等式成立；
（2）假設n=k時不等式成立，即

1+a2+a4+…+a2k

a+a3+a5+…+a2k-1

＞

k+1

k

，
則當n=k+1時，

1+a2+a4+…+a2(k+1)

a+a3+a5+…+a2k+1

+

a+a3+a5+…+a2k-1

1+a2+a4+…+a2k

=

(1+a)(1+a2+a4+…+a2k)

a(1+a2+a4+…+a2k)

=

1+a2

a

＞2

1+a2+a4+…+a2(k+1)

a+a3+a5+…+a2k+1

＞2-

a+a3+a5+…+a2k-1

1+a2+a4+…+a2k

＞2-

k+1

k

=

k+1+1

k+1

故n=k+1時，不等式成立
（3）由（1）（2）可知命題對n∈N^*時恒成立．

點評：本題考查數學歸納法，由n=k時成立，去證明n=k+1時成立是關鍵，也是難點，考查轉化、推理與論證的能力，屬于難題．