Question

已知f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），若2，f（a₁），…，f（a_n），2n+4（n=1，2，3，…）成等差數列，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設{b_n}=a_nf（a_n），若數列{b_n}的前n項和是S_n，試求S_n；
（3）令c_n=a_nlga_n，問是否存在實數a，使得數列{c_n}中每一項恒小于它后面的項，若存在，請求出a的范圍；，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設公差為d，則2n+4=2+（n+1）d，解得d=2，故f（a_n）=log_aa_n=2n+2，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由{b_n}=a_nf（a_n），知Sn=4a4+6a6+…+2(n+1)a2n+2，由錯位相減法能求出S_n．
（3）cn=(2n+2)a2n+2lga，由c_n＜c_n+1，知（2n+2）lga＜（2n+4）a²lga恒成立，由此能夠推導出存在a∈(0，

6

3

) ∪(1，+∞)，使得c_n＜c_n+1恒成立．

解答：解：（1）∵2，f（a₁），…，f（a_n），2n+4（n=1，2，3，…）成等差數列，
∴設公差為d，2n+4=2+（n+1）d，
∴d=2，
∴f（a_n）=log_aa_n=2n+2，
∴an=a2n+2．
（2）∵{b_n}=a_nf（a_n），

bn=a2n+2(2n+2)，Sn=4a4+6a6+…+2(n+1)a2n+2 ∴a2Sn=4a6+6a8+…+2(n+1)a2n+4 ∴(1-a2)Sn=2a4+2(a4+a6+…+a2n+2)-2(n+1)a2n+4 ∵a＞0，且a≠1 ∴Sn= 2[2a4-a6-(n+2)a2n+4+(n+1)a2n+6] (1-a2)2

（3）cn=(2n+2)a2n+2lga，
∵c_n＜c_n+1，
∴（2n+2）lga＜（2n+4）a²lga恒成立，
當a＞1，上式恒成立；
當0＜a＜1時，a2＜

2n+2

2n+4

=

n+1

n+2

=1-

1

n+2

，
∴a2＜

2

3

，
∴0＜a＜

6

3

，
∴存在a∈(0，

6

3

) ∪(1，+∞)，使得c_n＜c_n+1恒成立．

點評：本題考查數列通項公式的求法和數列前n項和公式的計算，探索是否存在實數a，使得數列{c_n}中每一項恒小于它后面的項，若存在，請求出a的范圍；若不存在，請說明理由．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．