Question

已知函數(shù)f（x）＝log_ax（a＞0且a≠1），若數(shù)列2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛a_n｝的通項a_n；

（2）若0＜a＜1，求數(shù)列｛a_n｝的前n項和S_n；

（3）若a＝2，令b_n＝a_n·f（a_n），對任意n∈N^*，都有b_n＞f^-1（t），求實數(shù)t的取值范圍.

Answer 1

解:（1）2n+4=2+（n+2-1）d，∴d=2.

∴f（a_n）=2+（n+1-1）·2=2n+2.

∴a_n=a²ⁿ⁺².                                                             

（2）S_n=.                                                    

（3）b_n=a_n·f（a_n）=（2n+2）a²ⁿ⁺²=（2n+2）·2²ⁿ⁺²=（n+1）·2²ⁿ⁺³，·4＞1，∴b_n+1＞b_n.∴｛b_n｝為遞增數(shù)列.∴b_n中最小項為b₁=2·2⁵=2⁶，f^-1（t）=2t.

∴2⁶＞2^t.∴t＜6．