Question

從圓x²-2x+y²-2y+1=0外一點P（3，2）向這個圓作兩條切線，則這兩條切線夾角的余弦值為

3

5

．

Answer 1

分析：將圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標和半徑r，設過P的切線方程斜率為k，由P的坐標表示出切線方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，由d=r列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出兩切線夾角的正切值，利用同角三角函數間的基本關系即可求出夾角的余弦值．

解答：解：將圓的方程化為標準方程為（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圓心坐標為（1，1），半徑r=1，
設過P切線方程的斜率為k，由P（3，2），得到切線方程為y-2=k（x-3），
∴圓心到切線的距離d=r，即

|-2k+1|

k2+1

=1，
解得：k=0或k=

4

3

，
設兩直線的夾角為θ，由k的值得到tanθ=

4

3

，
∴cosθ=

1

1+tan2θ

=

3

5

，
則兩條切線夾角的余弦值為

3

5

．
故答案為：

3

5

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，圓的標準方程，點到直線的距離公式，直線的夾角到角的問題，以及直線與圓的位置關系，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．