Question

設數列{a_n}為前n項和為S_n，a₁=2，數列{ S_n+2}是以2為公比的等比數列．
（1）求a_n；
（2）抽去數列{a_n}中的第1項，第4項，第7項，…，第3n-2項，余下的項順序不變，組成一個新數列{c_n}，若{c_n}的前n項和為T_n，求證：＜≤．

Answer 1

【答案】分析：（1）由數列{ S_n+2}是以4為首項，2為公比的等比數列可得S_n=2ⁿ⁺¹-2，進而可求通項；
（2）新數列{c_n}為2²，2³，2⁵，2⁶，2⁸，2⁹，它的奇數項組成以4為首項、公比為8的等比數列；偶數項組成以8為首項、公比為8的等比數列．由此入手能證明：＜≤．
解答：解：（1）由題意得：S₁=a₁=2，S₁+2=4，（1分）
已知數列{ S_n+2}是以4為首項，2為公比的等比數列
所以有：S_n+2=2ⁿ⁺¹，S_n=2ⁿ⁺¹-2    （4分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，又a₁=2（6分）
所以：a_n=2ⁿ（n∈N，n≥1）（7分）
（2）由（1）知：a_n=2ⁿ（n∈N，n≥1），
∴數列{c_n}為2²，2³，2⁵，2⁶，2⁸，2⁹，…，它的奇數項組成以4為首項，公比為8的等比數列；偶數項組成以8為首項、公比為8的等比數列；（8分）
∴當 n=2k-1（k∈N^*）時，
T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k-2）
=（2²+2⁵+…+2^3k-1）+（ 2³+2⁶+…+2^3k-3）
=+=×8^k-，（11分）
T_n+1=T_n+c_n+1=×8^k-+2^3k=×8^k-，（10分）
==+，
∵5×8^k-12≥28，∴＜≤3．（11分）
∴當n=2k （k∈N^*）時，
T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k）
=（2²+2⁵+…+2^3k-1）+（ 2³+2⁶+…+2^3k）
=+=×8^k-，（12分）
T_n+1=T_n+c_n+1=×8^k-+2^3k+2=×8^k-，（13分）
∴==+，∵8^k-1≥7，∴＜＜，
∴＜≤．（14分）
點評：本題考查數列的性質和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．