Question

設數列{an}為前n項和為Sn，，數列{ Sn +2}是以2為公比的等比數列．

(1)求；

(2)抽去數列{an}中的第1項，第4項，第7項，……，第3n-2項，余下的項順序不變，組成一個新數列{cn}，若{cn}的前n項和為Tn，求證：

＜≤

 

Answer 1

【答案】

  解：(1)由題意得：，，(1分)　　　　　　　　　

已知數列{ S_n +2}是以4為首項，2為公比的等比數列

所以有：，    (4分)

當時，，又   (6分)

所以：　　　　(7分)

(２)由(１) 知:，

∴數列{c_n}為2²，2³，2⁵，2⁶，2⁸，2⁹，……，它的奇數項組成以4為首項，公比為8的等比數列；偶數項組成以8為首項、公比為8的等比數列；(8分)

∴當 n=2k-1(k∈N^*)時，

T_n=(c₁+ c₃+…+c_2k-1)+ (c₂+ c₄+…+ c_2k-2)

=(2²+2⁵+…+2^3k-1)+( 2³+2⁶+…+2^3k-3)

=+=×8^k-，(11分)

T_n+1= T_n+c_n+1=×8^k-+2^3k = ×8^k-，(10分)

　=　　=　+，

∵ 5×8^k-12≥28，∴＜≤3。(11分)

∴當n=2k (k∈N^*)時，

T_n=(c₁+ c₃+…+c_2k-1)+ (c₂+ c₄+…+ c_2k)

=(2²+2⁵+…+2^3k-1)+( 2³+2⁶+…+2^3k)

     =+=×8^k-，(12分)

T_n+1= T_n+c_n+1=×8^k-+2^3k+2  = ×8^k-，(13分)

      ∴ 　=　　=　+，∵8^k-1≥7 ，∴＜＜，

∴＜≤。(14分)

【解析】略