Question

（本小題滿分14分）

設數列{an}為前n項和為Sn，，數列{ Sn +2}是以2為公比的等比數列．

(1)求；

(2)抽去數列{an}中的第1項，第4項，第7項，……，第3n-2項，余下的項順序不變，組成一個新數列{cn}，若{cn}的前n項和為Tn，求證：

＜≤

Answer 1

（本小題滿分14分）

解：(1)由題意得：，，(1分)　　　　　　　　　

已知數列{ Sn +2}是以4為首項，2為公比的等比數列

所以有：，    (4分)

當時，，又   (6分)

所以：　　　　(7分)

(２)由(１) 知:，

∴數列{cn}為22，23，25，26，28，29，……，它的奇數項組成以4為首項，公比為8的等比數列；偶數項組成以8為首項、公比為8的等比數列；(8分)

∴當 n=2k-1(k∈N*)時，

Tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ (c2+ c4+…+ c2k-2)

=(22+25+…+23k-1)+( 23+26+…+23k-3)

=+=×8k-，(11分)

Tn+1= Tn+cn+1=×8k-+23k = ×8k-，(10分)

　=　　=　+，

∵ 5×8k-12≥28，∴＜≤3。(11分)

∴當n=2k (k∈N*)時，

Tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ (c2+ c4+…+ c2k)

=(22+25+…+23k-1)+( 23+26+…+23k)

     =+=×8k-，(12分)

Tn+1= Tn+cn+1=×8k-+23k+2  = ×8k-，(13分)

      ∴ 　=　　=　+，∵8k-1≥7 ，∴＜＜，

∴ ＜≤。(14分)