Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（

3

cosx，cosx），若f（x）=

a

•

b

-

3

2

．
（1）寫出函數f（x）圖象的一條對稱軸方程；
（2）求函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根據向量的數量積的坐標運算公式，結合二倍角公式和輔助角公式化簡整理得f（x）=sin（2x+

π

3

），再根據正弦函數圖象對稱軸方程的公式，即可得到函數f（x）圖象的一條對稱軸方程；
（2）由（1）得f（x）=sin（2x+

π

3

），而x∈[0，

π

2

]時2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，結合正弦函數的圖象與性質得到函數的最大值為f（

π

12

）=1，最小值為f（

π

2

）=-

3

2

．由此即可得出函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的值域．

解答：解：（1）∵向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（

3

cosx，cosx），
∴

a

•

b

=

3

cos²x+sinxcosx=

3

2

（1+cos2x）+

1

2

sin2x=sin（2x+

π

3

）+

3

2

由此可得f（x）=

a

•

b

-

3

2

=[sin（2x+

π

3

）+

3

2

]-

3

2

=sin（2x+

π

3

）
∵令2x+

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），得x=

π

12

+

1

2

kπ（k∈Z）
∴取k=0，得函數y=sin（2x+

π

3

）圖象的一條對稱軸方程為x=

π

12

即函數y=f（x）圖象的一條對稱軸方程為x=

π

12

．
（2）由（1）得f（x）=sin（2x+

π

3

）
∵x∈[0，

π

2

]，得2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]
∴當2x+

π

3

=

π

2

時，即x=

π

12

時，f（x）有最大值為1；
當2x+

π

3

=

4π

3

時，即x=

π

2

時，f（x）有最小值為-

3

2

因此，可得函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的值域為[-

3

2

，1]．

點評：本題以向量數量積為載體，求函數的值域和圖象的對稱軸方程．著重考查了向量數量積坐標運算公式、三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．