已知橢圓
兩焦點坐標分別為
,
，一個頂點為
.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）是否存在斜率為
的直線
，使直線與橢圓交于不同的兩點
，滿足
. 若存在，求出
的取值范圍；若不存在，說明理由.
（Ⅰ）
；（Ⅱ）存在，
解析試題分析：（Ⅰ）由題意可得b和c，再根據
，可求得
。即可求出橢圓方程。（Ⅱ）由點斜式設出直線方程，然后聯立，消掉y（或x）得到關于x的一元二次方程。因為有兩個交點所以判別式大于0，再根據韋達定理得出根與系數的關系。已知，如用兩點間距離公式，計算量非常大，故可多分析問題得到設線段
中點為P，則有
，可用直線位置關系列式計算，也可轉化為向量用數量積計算，后邊的方法計算較為簡單。
試題解析：（Ⅰ）設橢圓方程為
.則依題意
，
，所以
于是橢圓的方程為 4分
（Ⅱ）存在這樣的直線. 依題意，直線的斜率存在
設直線的方程為
，則
由
得
因為
得
①
設
，線段中點為
，則
于是
因為，所以.
若
，則直線過原點，
，不合題意.
若
，由
得，
，整理得
②
由①②知，
， 所以
又，所以. 14分
考點：（1）橢圓的定義及簡單幾何性質（2）直線與圓錐曲線的位置關系的問題
星級口算天天練系列答案
芒果教輔達標測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓的方程為
，斜率為1的直線不經過原點
，而且與橢圓相交于
兩點，
為線段
的中點.
（1）問：直線
與能否垂直？若能，求
之間滿足的關系式；若不能，說明理由；
（2）已知為
的中點，且
點在橢圓上.若
，求之間滿足的關系式.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系中，已知點
，點
在直線
：
上運動，過點與垂直的直線和線段
的垂直平分線相交于點
．
(1)求動點的軌跡
的方程；
(2)過(1)中的軌跡上的定點
作兩條直線分別與軌跡相交于
，
兩點．試探究：當直線
，
的斜率存在且傾斜角互補時，直線
的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的兩個焦點是(0，-
)和(0，)，并且經過點
，拋物線E的頂點在坐標原點，焦點F恰好是橢圓C的右頂點．
（Ⅰ）求橢圓C和拋物線E的標準方程；
（Ⅱ）過點F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l1、l2，l1交拋物線E于點A、B，l2交拋物線E于點G、H，求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示,已知橢圓
的兩個焦點分別為
、
,且
到直線
的距離等于橢圓的短軸長.
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 若圓
的圓心為
(
),且經過
、,
是橢圓上的動點且在圓外,過作圓的切線,切點為
,當
的最大值為
時,求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知曲線
的極坐標方程為
，曲線
的極坐標方程為
，曲線、相交于
、
兩點.（
）
（Ⅰ）求、兩點的極坐標；
（Ⅱ）曲線與直線
（
為參數）分別相交于
兩點，求線段
的長度.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左、右焦點分別為
，且
，長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形的三個頂點．
(1)求橢圓方程；
(2)設橢圓與直線
相交于不同的兩點M、N，又點
，當
時，求實數m的取值范圍，
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
，且經過點
，直線
交橢圓于不同的兩點A，B.
（Ⅰ）求橢圓的方程;
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線
不過點M，求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形
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：
，直線
交橢圓
兩點.
為直徑的圓的方程.