Question

已知橢圓C的兩個焦點是(0，-)和(0，)，并且經過點，拋物線E的頂點在坐標原點，焦點F恰好是橢圓C的右頂點．
（Ⅰ）求橢圓C和拋物線E的標準方程；
（Ⅱ）過點F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l₁、l₂，l₁交拋物線E于點A、B，l₂交拋物線E于點G、H，求的最小值．

Answer 1

（I）橢圓C的標準方程為；拋物線E的標準方程為；（Ⅱ）最小值為16．

解析試題分析：（I）由題意得c=，，從而=1，橢圓C的標準方程為．該橢圓右頂點的坐標為(1，0)，即拋物線的焦點為(1，0)，所以，拋物線E的標準方程為．（Ⅱ）設l₁的方程：，l₂的方程，，，，.注意，且它們交于點，所以可將作如下變形： ==||·||+||·||，這樣先將||·||+||·||用表示出來，再利用韋達定理用表示，從而求得其最小值.
試題解析：（I）設橢圓的標準方程為(a>b>0)，焦距為2c，
則由題意得c=，，
∴a=2，=1，
∴橢圓C的標準方程為．                  4分
∴右頂點F的坐標為(1，0)．
設拋物線E的標準方程為，
∴，
∴拋物線E的標準方程為．                  6分
（Ⅱ）設l₁的方程：，l₂的方程，
，，，，
由 消去y得：，
∴ x₁+x₂=2+，x₁x₂=1．
由消去y得：x²-(4k²+2)x+1=0，
∴x₃+x₄=4k²+2，x₃x₄=1，                    9分
∴
=
=||·||+||·||
=|x₁+1|·|x₂+1|+|x₃+1|·|x₄+1|
=(x₁x₂+x₁+x₂+1)+(x₃x₄+x₃+x₄+1)
=8+
≥8+
=16．
當且僅當即k=±1時，有最小值16．        13分
考點：1、橢圓與拋物線；2、直線與圓錐曲線.