Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ⁺¹-2（n∈N^*）
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog₂a_n（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵S_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴n≥2時，S_n-1=2ⁿ-2，
兩式相減，可得a_n=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
∵n=1時，a₁=S₁=2
∴a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ，①
∴2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+n•2ⁿ⁺¹②
②-①，得T_n=-2-2²-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2