Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（m-1）x+1．
（Ⅰ）若方程f（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為（x₁，x₂），且0＜|x₁-x₂|＜2

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，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）依題意，由△=（m-1）²-4＞0即可求得實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）依題意知m＜-1或m＞3，又|x₁-x₂|＜2

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，利用韋達(dá)定理可求得-3＜m＜5，二者聯(lián)立即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+（m-1）x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=（m-1）²-4＞0，解得：m＜-1或m＞3；
（Ⅱ）依題意知，x₁、x₂是方程x²+（m-1）x+1=0的兩異根，
由（Ⅰ）知m＜-1或m＞3；①
又|x₁-x₂|＜2

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?(x1+x2)2-4x₁x₂=（m-1）²-4＜12，
解得：-3＜m＜5，②
由①②得：-3＜m＜-1或3＜m＜＜5，
∴實數(shù)m的取值范圍是（-3，-1）∪（3，5）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查二次函數(shù)的性質(zhì)及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．