Question

已知函數，，其中．

（1）若是函數的極值點，求實數的值；

（2）若對任意的（為自然對數的底數）都有≥成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）解法1：∵，其定義域為，   ∴．                

∵是函數的極值點，∴，即．                                         

∵，∴．                                              

經檢驗當時，是函數的極值點，

∴．　                                            

解法2：∵，其定義域為，∴．               

令，即，整理，得．

∵，

∴的兩個實根（舍去），，

當變化時，，的變化情況如下表：

	—	0	＋
	↘	極小值	↗

依題意，，即，

∵，∴．                           

（2）解：對任意的都有≥成立等價于對任意的都有≥．                       

當［1，］時，．∴函數在上是增函數．

∴．                       

∵，且，．

①當且［1，］時，，

∴函數在［1，］上是增函數，

∴.

由≥，得≥，又，∴不合題意．                                 

 

②當1≤≤時，若1≤＜，則，

若＜≤，則．

∴函數在上是減函數，在上是增函數．

∴.

由≥，得≥，

又1≤≤，∴≤≤．                    

③當且［1，］時，，

∴函數在上是減函數．

∴.

由≥，得≥，

又，∴．

綜上所述，的取值范圍為．

【解析】略