Question

（本小題滿分14分）

已知函數，.（其中為自然對數的底數），

（Ⅰ）設曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）若對于任意實數≥0，恒成立，試確定實數的取值范圍；

（Ⅲ）當時，是否存在實數，使曲線C：在點

處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ），                          ………………………1分

因此在處的切線的斜率為，       ………………………2分

又直線的斜率為，                    ………………………3分

∴（）＝－1，

∴ ＝－1.                                            ………………………5分

（Ⅱ）∵當≥0時，恒成立，

∴ 先考慮＝0，此時，，可為任意實數；      ………………………6分

   又當＞0時，恒成立，

則恒成立，                       …………………………………………7分

設＝，則＝，

當∈(0,1)時，＞0，在(0,1)上單調遞增，

當∈(1,＋∞)時，＜0，在(1,＋∞)上單調遞減，

故當＝1時，取得極大值，

，                    …………………………………………9分

∴要使≥0，恒成立，＞－，

∴ 實數的取值范圍為．        …………………………………………10分

（Ⅲ）依題意，曲線C的方程為，

令＝，則＝

設，則，

當，，故在上的最小值為，…………………12分

所以≥0，又，∴＞0，

而若曲線C：在點處的切線與軸垂直，

則＝0，矛盾。                    …………………………………………13分

所以，不存在實數，使曲線C：在點處的切線與軸垂直.

…………………………………………14分

 

【解析】略