Question

【題目】如下圖，在空間多面體中，四邊形為直角梯形，， ，是正三角形，，。

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）借助題設條件運用面面垂直的判定定理推證；（Ⅱ）借助題設條件運用二面角的定義進行轉化為平面角或運用空間向量的數量積公式求解。

試題解析：

證明：（Ⅰ）因為，，

所以，

所以,

因為,

所以平面，

因為平面，

所以平面平面，

法一：（Ⅱ）取中點，連接，過作，過作，連接，所以是二面角的平面角，

設，

在中，，所以，

在中，，所以，，

因為，所以，

在中，所以，

因為，所以,

所以，

過作，則是中點，

所以，

在中，，

所以，即二面角的余弦值為。

法二：（Ⅱ）過作，過作，，

連接，則是正方形，

因為，所以，

所以是梯形，

過作，連接，

因為，平面，

所以，即，

則是二面角的平面角，

設，則，

在，，,

所以，，

所以，

所以二面角的余弦值為。

法三：（Ⅲ）過點作平面，由（Ⅰ）知：平面平面，所以平面，

以為原點，分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，，因為，且，所以，

，，，，

設平面的法向量為，則，

，取，

同理可得平面的法向量，

所以，

因為二面角是鈍角，所以其余弦值是。