Question

【題目】在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，。

（Ⅰ）若為線段上一點(diǎn)，且，求證：平面；

（Ⅱ）若分別是線段的中點(diǎn)，設(shè)平面將三棱柱分割成左、右兩部分，記它們的體積分別為和，求。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）借助題設(shè)條件運(yùn)用線面垂直的判定定理推證；（Ⅱ）借助題設(shè)條件運(yùn)用柱體和錐體的體積公式求解。

試題解析：（Ⅰ）證明：如圖所示，在平面中，過點(diǎn)作，與相交于點(diǎn)。因?yàn)?/span>，所以，所以，，，四點(diǎn)在同一平面內(nèi)。平面平面。由，得。，所以。，，所以，，所以，所以，即。又由底面，得。

又且平面，平面。所以平面。

（Ⅱ）解：如下圖所示，當(dāng)，分別是，中點(diǎn)時(shí)，直線與棱相交于的中點(diǎn)。連接，。則三角形就是平面截三棱柱的截面。

截面右側(cè)為四棱錐。所以。又三棱柱的體積。

所以。