Question

某射擊游戲規定：每位選手最多射擊3次；射擊過程中若擊中目標，方可進行下一次射擊，否則停止射擊；同時規定第i（i=1，2，3）次射擊時擊中目標得4-i分，否則該次射擊得0分．已知選手甲每次射擊擊中目標的概率為0.8，且其各次射擊結果互不影響．
（Ⅰ）求甲恰好射擊兩次的概率；
（Ⅱ）設該選手甲停止射擊時的得分總和為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）設選手甲第i次擊中目標的事件為A_i（i=1，2，3），
則
依題可知：A_i與A_j（i，j=1，2，3，i≠j）相互獨立
所求為：…（5分）
（Ⅱ）ξ可能取的值為0，3，5，6． 　　　　　　　　　…（6分）
ξ的分布列為：

ξ	0	3	5	6
P	0.2	0.16	0.128	0.512

…（10分）（表中的每一個概率值各占1分）
∴E_ξ=0×0.2+3×0.16+5×0.128+6×0.512=4.192．…（12分）
分析：（Ⅰ）甲恰好射擊兩次說明第一次射中，第二次未射中，設選手甲第i次擊中目標的事件為A_i（i=1，2，3），則，而A_i與A_j（i，j=1，2，3，i≠j）相互獨立，從而求出所求；
（II）ξ可能取的值為0，3，5，6，然后求出相應的概率，得到ξ的分布列，最后根據離散型隨機變量的期望公式解之即可．
點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量的期望和分布列，屬于中檔題．