Question

如圖三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,每個側面都是正方形,D為底邊AB中點,E為側棱CC₁中點,AB₁與A₁B交于點O。

（I）求證：CD//平面A₁EB。    

（II）求證：平面AB₁C⊥平面A₁EB

 

Answer 1

證明：（I）∵ 棱柱的每個側面為正方形

     ∴AA₁⊥AC

AA₁⊥AB

     ∴三棱柱為正三棱柱

       連OD，∵D為AB中點，O為對面線AB₁，A₁B交點

     ∴OD//BB₁

     又E為CC₁中點        ∴EC//BB₁

     OD//EC

     DCEO為平行四邊形    CD//EO

     CD平面A₁EB    EO平面A₁EB   ∴CD//平面A₁EB

（II）∵ AB=AC=CB

         

∴  CD⊥AB

又直棱柱側面ABB₁A₁⊥底面ABC

∴CD⊥平面ABB₁A₁     CD⊥AB₁

由（I）CD//EO       ∴EO⊥AB₁

          又正方形中 A₁B⊥AB₁

          EOA₁B=0，  EO   A₁B平面A₁EB

          ∴AB₁⊥平面A₁EB

            AB₁平面AB₁C     ∴平面A₁EB⊥平面AB₁C