Question

如圖三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱BB₁與底面成60．角，AQ⊥底面A₁B₁C₁于Q，AP⊥側面BCC₁B₁于P，且A₁Q⊥B₁C₁，AB=AC，AQ=3，AP=2則頂點A到棱B₁C₁的距離是

 

．

Answer 1

分析：取B₁C₁的中點D，連接A₁D，PD，先證A、P、D、Q四點共圓，根據余弦定理求出PQ，再根據正弦定理求出直徑AD，最后證明AD為頂點A到棱B₁C₁的距離，即可得到結論．

解答：解：取B₁C₁的中點D，連接A₁D，PD
∵側棱BB₁與底面成60°，A₁A∥BB₁
∴∠AA₁D=60°
而AQ⊥底面A₁B₁C₁于Q，AP⊥側面BCC₁B₁于P
∴∠PDQ=120°，∠PAQ=60°
∴A、P、D、Q四點共圓
則AD為圓的直徑
根據余弦定理可知PQ=

7

再根據正弦定理可知2R=

7

3 2

=

2 21

3

∵B₁C₁⊥面AQD，AD?面AQD
∴B₁C₁⊥AD
則AD為頂點A到棱B₁C₁的距離
∴頂點A到棱B₁C₁的距離為

2 21

3

故答案為：

2 21

3

點評：本題主要考查了點到線的距離，以及正弦定理和余弦定理的應用，同時考查了推理論證的能力，轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．