Question

已知函數 f （x）=px+

p

x

-2lnx．（其中p＞0為常數）
（1）求f （x）的單調遞增區間；
（2）設g（x）=

2

x

，若在[1，2]上至少存在一點x₀，使得 f（x₀）＞g（x₀）成立，求正數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f （x）=px+

p

x

-2lnx，知f′(x)=p-

p

x 2

-

2

x

，由f′(x)=p-

p

x 2

-

2

x

＞0，能求出函數 f （x）=px+

p

x

-2lnx單調增區間．
（2）由g(x)=

2

x

在[1，2]內是減函數，知g(x)min=g(2) =

2

2

=1．由f （x）=px+

p

x

-2lnx在[1，2]內是增函數，知f(x)max=f(2)=2p+

p

2

-2ln2，由在[1，2]上至少存在一點x₀，使得 f（x₀）＞g（x₀）成立，知f（x）_max＞g（x）_min，由此能求出p的范圍．

解答：解：（1）∵f （x）=px+

p

x

-2lnx，
∴f′(x)=p-

p

x 2

-

2

x

，
由f′(x)=p-

p

x 2

-

2

x

＞0，
兩邊同時乘以x²，得px²-2x-p＞0．
∵p＞0為常數，
∴解方程px²-2x-p=0，得
x=

2± 4+4p2

2p

=

1± 1+p2

p

，
∴px²-2x-p＞0的解集是（-∞，

1- 1+p2

p

）∪(

1+ 1+p2

p

，+∞)．
∵f （x）=px+

p

x

-2lnx的定義域是{x|x＞0}，
∴函數 f （x）=px+

p

x

-2lnx單調增區間為 （

1+ p2+1

p

，+∞）．
（2）∵g(x)=

2

x

在[1，2]內是減函數，
∴g(x)min=g(2) =

2

2

=1，g(x)max=

2

1

=2，
∴g（x）∈[1，2]．
∵f （x）=px+

p

x

-2lnx在[1，2]內是增函數，
∴f(x)max=f(2)=2p+

p

2

-2ln2，
∵在[1，2]上至少存在一點x₀，使得 f（x₀）＞g（x₀）成立，
∴f（x）_max＞g（x）_min，
∴2p+

p

2

-2ln2＞1，
解得p＞

2+4ln2

5

．
∴p∈（

2+4ln2

5

，+∞）．

點評：本題考查利用導數求閉區間上的函數的最值的應用，考查函數單調區間的求法．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．