【題目】已知橢圓C：
（
）的兩焦點與短軸兩端點圍成面積為12的正方形.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)我們稱圓心在橢圓上運動，半徑為
的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”.過原點O作橢圓C的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓C于A、B兩點，若直線
、
的斜率為
、
，當(dāng)
時，求此時“衛(wèi)星圓”的個數(shù).
【答案】(1)
；(2)8個.
【解析】
(1)由條件可得
，解出來即可；
(2) 設(shè)“衛(wèi)星圓”的圓心為
，由定義可得“衛(wèi)星圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為
，求其圓心到直線
，直線
的距離，整理可轉(zhuǎn)化為
、
是方程
的兩個不相等的實數(shù)根，則
，再加上
，
，解方程即可.
(1)∵橢圓C的兩焦點與短軸兩端點圍成面積為12的正方形，
∴由橢圓的定義和正方形的性質(zhì)，可得，
解得
.
又
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè)“衛(wèi)星圓”的圓心為.
由“衛(wèi)星圓”的定義，可得“衛(wèi)星圓”的半徑為
.
∴“衛(wèi)星圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
∵直線：
與“衛(wèi)星圓”相切，
則由點到直線的距離公式可
，
化簡得
.
同理可得
.
∴、是方程的兩個不相等的實數(shù)根，
∴
，由
，得
，
將代入得
，.
又∵“衛(wèi)星圓”的圓心在橢圓C上，
∴代入橢圓方程中，可得.
解得
，
.
當(dāng)
時，
；
當(dāng)
時，
，
∴滿足條件的點共8個，
∴這樣“衛(wèi)星圓”存在8個.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】移動支付（支付寶及微信支付）已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式，為調(diào)查市民使用移動支付的年齡結(jié)構(gòu)，隨機對100位市民做問卷調(diào)查得到
列聯(lián)表如下：
（1）將上列聯(lián)表補充完整，并請說明在犯錯誤的概率不超過0．10的前提下，認為支付方式與年齡是否有關(guān)？
（2）在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調(diào)查，從這10人隨機中選出3人頒發(fā)參與獎勵，設(shè)年齡都低于35歲（含35歲）的人數(shù)為
，求的分布列及期望．
（參考公式：
（其中
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（
是自然對數(shù)的底數(shù)）.
（Ⅰ）討論
極值點的個數(shù)；
（Ⅱ）若
是的一個極值點，且
，證明：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，短軸長為
．
（1）求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓的左焦點為
，過點的直線
與橢圓交于
兩點，則在
軸上是否存在一個定點
使得直線
的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，也請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】甲同學(xué)參加化學(xué)競賽初賽，考試分為筆試、口試、實驗三個項目，各單項通過考試的概率依次為
、
、
，筆試、口試、實驗通過考試分別記4分、2分、4分，沒通過的項目記0分，各項成績互不影響.
（Ⅰ）若規(guī)定總分不低于8分即可進入復(fù)賽，求甲同學(xué)進入復(fù)賽的概率；
（Ⅱ）記三個項目中通過考試的個數(shù)為
，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
上一點
與橢圓右焦點的連線垂直于
軸，過橢圓
上一點
的直線
與橢圓
交于
兩點（均不在坐標(biāo)軸上），設(shè)
為坐標(biāo)原點，過的射線
與橢圓
交于點
．
（1）若
，求實數(shù)
的值；
（2）當(dāng)為時，若四邊形
的面積為12，試求直線
的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，
平面ABCD，
是正三角形，AC與BD的交點為M，又
，
，點N是CD中點．
（1）求證：
平面PAD；
（2）求點M到平面PBC的距離．
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