Question

如圖，一張平行四邊形的硬紙片中，，．沿它的對角線把折起，使點到達平面外點的位置．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）當二面角為時，求的長。

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：因為，

，所以．

　　　因為折疊過程中，，

　　　所以，又，故平面．

　　　又平面，

　　　所以平面平面．

（Ⅱ）解法一：如圖，由（Ⅰ）知，，

　　　所以是二面角的平面角．由已知得，．

　　　作，垂足為，

　　　由

　　　可得，．

　　　連結，在中，

　　　．

　　　因為平面平面，

　　　所以平面，可知．

　　　在中，．

　　　解法二：由已知得．以為原點，射線，分別為，軸的正半軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，，．

由（Ⅰ）知，，所以為二面角的平面角．

　　　由已知可得，

　　　所以．

　　　所以，

　　　即的長為2．