Question

如圖，一張平行四邊形的硬紙片ABC₀D中，AD=BD=1，AB=

2

．沿它的對角線BD把△BDC₀折起，使點C₀到達平面ABC₀D外點C的位置．
（Ⅰ）證明：平面ABC₀D⊥平面CBC₀；
（Ⅱ）如果△ABC為等腰三角形，求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證面面垂直，只要證線面垂直，要證線面垂直，只要證線線垂直，由題意易得DB⊥BC，又DB⊥BC₀，則題目可證．
（Ⅱ）解法一：由DB⊥BC，AD⊥BD，故只要過B做BE∥AD，則角∠CBE為二面角A-BD-C的平面角，構造三角形求角即可．
解法二：根據題意，建立空間坐標系，利用空間向量求解．由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以

DA

與

BC

夾角的大小等于二面角A-BD-C的大小．由夾角公式求

DA

與

BC

的夾角的余弦，從而確定角的大小．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為AD=BC₀=BD=1，AB=C0D=

2

，所以∠DBC₀=90°，∠ADB=90°．
因為折疊過程中，∠DBC=∠DBC₀=90°，所以DB⊥BC，又DB⊥BC₀，
故DB⊥平面CBC₀．
又DB?平面ABC₀D，
所以平面ABC₀D⊥平面CBC₀．

（Ⅱ）解法一：如圖，延長C₀B到E，使BE=C₀B，連接AE，CE．
因為AD平行等于BE，BE=1，DB=1，∠DBE=90°，
所以AEBD為正方形，AE=1．
由于AE，DB都與平面CBC₀垂直，
所以AE⊥CE，可知AC＞1．
因此只有AC=AB=

2

時，△ABC為等腰三角形．
在Rt△AEC中，CE=

AC2-AE2

=1，又BC=1，
所以△CEB為等邊三角形，∠CBE=60°．
由（Ⅰ）可知，CB⊥BD，EB⊥BD，
所以∠CBE為二面角A-BD-C的平面角，
即二面角A-BD-C的大小為60°．

解法二：以D為坐標原點，射線DA，DB分別為x軸正半軸和y軸正半軸，
建立如圖的空間直角坐標系D-xyz，
則A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，0）．
由（Ⅰ）可設點C的坐標為（x，1，z），其中z＞0，則有x²+z²=1．①
因為△ABC為等腰三角形，所以AC=1或AC=

2

．
若AC=1，則有（x-1）²+1+z²=1．
由此得x=1，z=0，不合題意．
若AC=

2

，則有（x-1）²+1+z²=2．②
聯立①和②得x=

1

2

，z=

3

2

．故點C的坐標為(

1

2

，1，

3

2

)．
由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以

DA

與

BC

夾角的大小等于二面角A-BD-C的大小．
又

DA

=(1，0，0)，

BC

=(

1

2

，0，

3

2

)，cos＜

DA

，

BC

＞=

DA • BC

| DA || BC |

=

1

2

．
所以＜

DA

，

BC

＞=60°．
即二面角A-BD-C的大小為60°．

點評：本題考查空間的位置關系可空間二面角的求法，考查運算能力和空間想象能力．