Question

定義在R上的f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，且g（-1）=0，對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），當x₁＜x₂時，恒有f（x₂）g（x₂）＞f（x₁）g（x₁），則不等式f（x）g（x）＜0的解集為

 

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Answer 1

分析：令F（x）=f（x）g（x），由題意可得，F（x）為奇函數，當x∈（0，+∞）時，F（x）為增函數，作出其圖象，借助圖象即可判斷出答案．

解答：解：令F（x）=f（x）g（x），∵f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，
∴F（x））=f（x）g（x）為奇函數，
又對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），當x₁＜x₂時，恒有f（x₂）g（x₂）＞f（x₁）g（x₁），
∴當x∈（0，+∞）時，F（x）為增函數，由F（x）為奇函數，可知，當x∈（-∞，0）時，F（x）為增函數，
又g（-1）=0，
∴F（-1）=-F（1）=0，作出F（x）的圖象，

由圖知不等式F（x）=f（x）g（x）＜0的解集為{x|x＜-1或0＜x＜1}．
故答案為：{x|x＜-1或0＜x＜1}．

點評：本題考查函數奇偶性與單調性的綜合，考查分析與理解能力，作圖能力，構造函數的能力，作出F（x）=f（x）g（x）的圖象是關鍵，屬于中檔題．