Question

定義在R上的f（x）滿足f（x）=f（x+2），當x∈[3，5]時，f（x）=2-|x-4|，α，β是鈍角三角形的兩銳角，則下列正確的個數是（　　）
①f（sinβ）＜f（cosα）；
②f（sin（-α）＜f（cosβ）；
③f（cosα）＞f（sin（-β））；
④f（sinα）＞f（cosβ）．

• A、4個
• B、3個
• C、2個
• D、1個

Answer 1

分析：本題考查的是函數的單調性、分段函數以及有關三角的綜合類問題．在解答時，首先要結合分類討論研究好當x∈[3，5]時，f（x）的解析式，畫出圖象后再結合周期性將整個實屬集上的圖象畫出，結合圖象即可讀出奇偶性又可知道函數在（0，1）上的單調性，進而問題即可獲得解答．

解答：解：由題意函數f（x）的解析式為：
f(x)=

-x+6，4≤x≤5 x-2，3≤x＜4

，
又因為在R上的f（x）滿足f（x）=f（x+2），
所以函數是以2為周期的函數．
故函數在實數集上的圖象如圖，
由圖象可知：函數為偶函數且在（0，1）上為減函數．
所以：∵α+β＜

π

2

，
∴α＜

π

2

-β或β＜

π

2

-α
∴sinα＜sin(

π

2

-β) =cosβ，同理sinβ＜cosα
所以：f（sinα）＞f（cosβ）、f（sinβ）＞f（cosα）
又知函數為偶函數，∴f（sin（-α））f（-sinα）=f（sinα），f（sin（-β））=f（sinβ）
所以①②③不正確．
故選D．

點評：本題考查的是函數的單調性、分段函數以及有關三角的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了分類討論的思想、數形結合的思想以及函數單調性知識和周期性知識的靈活應用．值得同學們體會反思．