【題目】已知圓
：
，橢圓
：
的離心率為
，圓上任意一點
處的切線交橢圓于兩點
，
，當恰好位于
軸上時，
的面積為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）試判斷
是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.
【答案】（1）
（2）
為定值且定值為
，詳見解析
【解析】
（1）根據題意，結合圖形特點求解出
與
的長，再結合橢圓的離心率特點代換出關于
的橢圓標準方程，將點
坐標代入橢圓方程即可求得標準方程
（2）分兩種情況進行討論，當過點
的圓的切線斜率為0或不存在時，
，當斜率存在時，設切線方程為
，采用解析幾何方法聯立切線與橢圓標準方程，得出關于兩點橫坐標的韋達定理，再用弦長公式表示出，最終將表達式進行化簡求值即可
解：（1）由橢圓的離心率為
知
得
，
∴橢圓
的方程為
.
由圓的切線性質、圓的對稱性及
的面積為得：
，
又
，∴
，
設
，則
，
，將其代入橢圓方程得
，
，
∴橢圓的方程為.
（2）①當過點的圓的切線斜率為0或不存在時，，
②當過點的圓的切線斜率存在且不為0時，設切線的方程為，
，
，∴
，即
.
聯立直線和橢圓的方程得：
，即
，
則
，
設
，則
,
由
，解得
，
∴
，
綜上所述，為定值且定值為.
課時訓練江蘇人民出版社系列答案
黃岡經典趣味課堂系列答案
啟東小題作業本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業有甲、乙兩套設備生產同一種產品，為了檢測兩套設備的生產質量情況，隨機從兩套設備生產的大量產品中各抽取了50件產品作為樣本，檢測一項質量指標值，若該項質量指標值落在
內，則為合格品，否則為不合格品. 表1是甲套設備的樣本的頻數分布表，圖1是乙套設備的樣本的頻率分布直方圖.
表1：甲套設備的樣本的頻數分布表
質量指標值 |
|
|
|
|
|
|
頻數 | 1 | 5 | 18 | 19 | 6 | 1 |
圖1：乙套設備的樣本的頻率分布直方圖
（1）將頻率視為概率. 若乙套設備生產了5000件產品，則其中的不合格品約有多少件；
（2）填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有90%的把握認為該企業生產的這種產品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關；
甲套設備 | 乙套設備 | 合計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計 |
| 0.15 | 0.10 | 0.050 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 |
附:
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某旅游勝地欲開發一座景觀山，從山的側面進行勘測，迎面山坡線
由同一平面的兩段拋物線組成，其中
所在的拋物線以
為頂點、開口向下，
所在的拋物線以
為頂點、開口向上，以過山腳（點）的水平線為
軸，過山頂（點）的鉛垂線為
軸建立平面直角坐標系如圖（單位：百米）．已知所在拋物線的解析式
，所在拋物線的解析式為
（1）求
值，并寫出山坡線的函數解析式；
（2）在山坡上的700米高度（點
）處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站，索道的起點選擇在山腳水平線上的點
處，
（米），假設索道
可近似地看成一段以為頂點、開口向上的拋物線
當索道在上方時，索道的懸空高度有最大值，試求索道的最大懸空高度；
（3）為了便于旅游觀景，擬從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設觀景臺階，臺階每級的高度為20厘米，長度因坡度的大小而定，但不得少于20厘米，每級臺階的兩端點在坡面上（見圖）．試求出前三級臺階的長度（精確到厘米），并判斷這種臺階能否一直鋪到山腳，簡述理由？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
為兩個不同的平面，
，
為兩條不同的直線，有以下命題：
①若
，
，則
.②若
，
，則
.③若
，，則
.④若
，，
，則.
其中真命題有（）
A.①②B.①③C.②③D.③④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）求直線和曲線的普通方程；
（2）已知點
，且直線和曲線交于
兩點，求
的值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下面給出了關于復數的四種類比推理：
①復數的加減法運算可以類比多項式的加減法運算法則；
②由向量
的性質
，類比得到復數
的性質
；
③方程
有兩個不同實數根的條件是
可以類比得到：方程
有兩個不同復數根的條件是；
④由向量加法的幾何意義可以類比得到復數加法的幾何意義，其中類比錯誤的是__________．
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