Question

如圖，一個正三棱柱的左（側(cè)）視圖是邊長為

3

的正方形，則它的外接球的表面積等于（　　）

• A、8π
• B、

  25

  3

  π
• C、9π
• D、

  28

  3

  π

Answer 1

分析：由題意可得：正三棱柱的高是

3

，底面正三角的高也是

3

．設球心為O，半徑為R，△ABC的中心為G，所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=

3

2

，所以GA=

2 3

3

．在△OAG中由勾股定理得：R²=

25

12

．進而得到答案．

解答：解：因為正三棱柱ABC-DEF的左視圖是邊長為

3

的正方形，
所以正三棱柱的高是

3

，底面正三角的高也是

3

．
設它的外接球的球心為O，半徑為R，底面△ABC的中心為G，
所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=

3

2

，
GA是正三角形ABC的高的

2

3

，
所以GA=

2 3

3

．
在△OAG中由勾股定理得：R²=OG²+GA²
解得：R²=

25

12

．
∴球的表面積為4πR²=

25π

3

．
故選B．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與及球的定義，在球的內(nèi)接多面體中一般容易出現(xiàn)直角三角形，進而利用勾股定理解決問題即可．