Question

【題目】為了提升學生“數學建模”的核心素養，某校數學興趣活動小組指導老師給學生布置了一項探究任務：如圖，有一張邊長為27cm的等邊三角形紙片ABC，從中裁出等邊三角形紙片作為底面，從剩余梯形中裁出三個全等的矩形作為側面，圍成一個無蓋的三棱柱（不計損耗）．

（1）若三棱柱的側面積等于底面積，求此三棱柱的底面邊長；

（2）當三棱柱的底面邊長為何值時，三棱柱的體積最大？

Answer 1

【答案】（1）18cm（2）18cm

【解析】

(1) 設三棱柱的底面邊長為,再根據三角形中的關系表達出底面積和與側面積的關系式再解方程即可.

(2)同(1)可知,再求導分析函數的單調性求最大值即可.

設三棱柱的底面邊長為,即,

則.

因為為等邊三角形,

所以三棱柱的高為.

（1）因為三棱柱的底面積為,

側面積為,

所以,

解得或（舍去）.

即三棱柱的底面邊長為18cm.

（2）三棱柱的體積.

因為,,

所以.

因為,

所以當時,,故單調遞增;

當時,,故單調遞減.

所以當時,取到極大值,也是最大值,

.

即當底面邊長為18cm時,三棱柱的體積最大,為.