Question

若f（x）的定義域為[a，b]，值域為[a，b]（a＜b），則稱函數f（x）是[a，b]上的“四維光軍”函數．
①設g（x）=

1

2

x²-x+

3

2

是[1，b]上的“四維光軍”函數，求常數b的值；
②問是否存在常數a，b（a＞-2），使函數h（x）=

1

x+2

是區間[a，b]上的“四維光軍”函數？若存在，求出a，b的值，否則，請說明理由．

Answer 1

分析：①利用“四維光軍”函數的定義，建立定義域和值域之間的關系，即可．
②假設常數a，b，利用函數的單調遞減，得到h（a）=b，h（b）=a，利用方程組解出矛盾．

解答：解：①由g(x)=

1

2

(x-1)2+1知g（x）在[1，b]上單調遞增，且g（1）=1．
∴[1，g（b）]=[1，b]
即g（b）=b，解得b=3．
②假設存在a與b使h（x）是“四維光軍”函數，
因為函數h（x）=

1

x+2

是區間[a，b]上單調遞減，
所以有

h(a)=b h(b)=a

，即

1 a+2 =b 1 b+2 =a

，所以b（a+2）=a（b+2）=1，解得2a=2b，所以a=b，這與已知a＜b產生矛盾．
∴不存在a與b使得h（x）是“四維光軍”函數．

點評：本題主要考查函數定義域以及函數值域的求法，考查學生分析問題的能力．