Question

【題目】已知二次函數g（x）＝ax2+c（a，c∈R），g（1）＝1且不等式g（x）≤x2﹣x+1對一切實數x恒成立．

（Ⅰ）求函數g（x）的解析式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設函數h（x）＝2g（x）﹣2，關于x的不等式h（x﹣1）+4h（m）≤h（）﹣4m2h（x），在x∈[，+∞）有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）g（x）；（Ⅱ）[，0）∪（0，]

【解析】

（Ⅰ）先將g（1）＝1代入得a+c＝1，再由g（x）≤x2﹣x+1對一切實數x恒成立轉化為

（a﹣1）x2+x+c﹣1≤0對一切實數x恒成立，分類討論即可求解；

（Ⅱ）先將不等式作變形處理，可得4m2≥1. 在x∈[，+∞）有解，即等價于4m2≥（1 ）min，設y＝1，求得的最小值，再解關于的不等式即可；

（Ⅰ）∵二次函數g（x）＝ax2+c（a，c∈R），g（1）＝1；∴a+c＝1①；

又∵不等式g（x）≤x2﹣x+1對一切實數x恒成立；∴（a﹣1）x2+x+c﹣1≤0對一切實數x恒成立；

當a﹣1＝0時，x+c﹣1≤0不恒成立，∴a＝1不合題意，舍去；

當a﹣1≠0時，要使得（a﹣1）x2+x+c﹣1≤0對一切實數x恒成立，

需要滿足：；②，∴由①②解得a，c；

故函數g（x）的解析式為：g（x）．

（Ⅱ）把g（x）代入函數h（x）＝2g（x）﹣2；得h（x）＝x2﹣1；

則關于x的不等式h（x﹣1）+4h（m）≤h（）﹣4m2h（x）在x∈[，+∞）有解，

得，4m2≥1. 在x∈[，+∞）有解；

只要使得4m2≥（1）min；設y＝1，x∈[，+∞），

則y＝﹣3（）2，（0，]，∴當時，ymin；所以，4m2，

解得0＜m2；∴m＜0或0＜m；

故實數m的取值范圍為[，0）∪（0，]．