【題目】已知函數
.
（Ⅰ）求函數
的單調遞減區間；
（Ⅱ）求函數
在區間
上的最大值及最小值.
【答案】（Ⅰ）
，
.（Ⅱ）當
時，
取得最小值
；
當
時，取得最大值1.
【解析】
試題分析：（Ⅰ）先根據兩角和余弦公式、二倍角公式、配角公式將函數化為基本三角函數：
，再根據正弦函數性質求單調區間：由
解得
，最后寫出區間形式（Ⅱ）先根據自變量范圍
確定基本三角函數定義區間：
，再根據正弦函數在此區間圖像確定最值：當時，取得最小值；
當時，取得最大值1.
試題解析：（Ⅰ）
. ……………………………………3分
由，，得
，.
即的單調遞減區間為，.……………………6分
（Ⅱ）由
得， ………………………………8分
所以
. …………………………………………10分
所以當時，取得最小值；
當時，取得最大值1. ………………………………13分
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【題目】已知數列
和
滿足：
，
，
，其中
.
（1）求數列和的通項公式；
（2）記數列的前
項和為
，問是否存在正整數
，使得
成立？若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠為了對新研發的一種產品進行合理定價，將該定價按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：
單價 | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
銷量 | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
（1）求回歸直線方程
；
（2）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（1）中的關系，且該產品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元？
附： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，過左焦點
且垂直于長軸的弦長為
．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）點
為橢圓
的長軸上的一個動點，過點
且斜率為
的直線
交橢圓
于
兩點，證明：
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知各項都是正數的數列
的前
項和為
，
，
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列
滿足：
，
，數列
的前項和
，求證：
；
（3）若
對任意
恒成立，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（1）若直角三角形兩直角邊長之和為12，求其周長
的最小值；
（2）若三角形有一個內角為
，周長為定值，求面積
的最大值；
（3）為了研究邊長
滿足
的三角形其面積是否存在最大值，現有解法如下：
（其中
， 三角形面積的海倫公式），
∴
，
而
，
，
，則
，
但是，其中等號成立的條件是
，于是
與
矛盾，
所以，此三角形的面積不存在最大值．
以上解答是否正確？若不正確，請你給出正確的答案．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著互聯網的發展，移動支付（又稱手機支付）越來越普通，某學校興趣小組為了了解移動支付在大眾中的熟知度，對15-65歲的人群隨機抽樣調查，調查的問題是“你會使用移動支付嗎？”其中，回答“會”的共有
個人.把這個人按照年齡分成5組：第1組
，第2組
，第3組
，第4組
，第5組
，然后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中，第一組的頻數為20.
（1）求 和
的值，并根據頻率分布直方圖估計這組數據的眾數；
（2）從第1，3，4組中用分層抽樣的方法抽取6人，求第1，3，4組抽取的人數；
（3）在（2）抽取的6人中再隨機抽取2人，求所抽取的2人來自同一個組的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業實行裁員增效，已知現有員工
人，每人每年可創純收益（已扣工資等）1萬元，據評估，在生產條件不變的情況下，每裁員一人，則留崗員工每人每年可多創收0．01萬元，但每年需付給下崗工人每位0.4萬元的生活費，并且企業正常運轉所需人數不得少于現有員工的
，設該企業裁員
人后，年純收益為
萬元．
（1）寫出
關于
的函數關系式，并指出
的取值范圍；
（2）當
時，該企業應裁員多少人，才能獲得最大的經濟效益（注：在保證能取得最大的經濟效益的情況下，能少裁員，應盡量少裁員）？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】過點
作一直線與拋物線
交于
，
兩點，點
是拋物線上到直線
的距離最小的點，直線
與直線
交于點
.
（Ⅰ）求點
的坐標；
（Ⅱ）求證：直線
平行于拋物線的對稱軸.
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