Question

設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).
，
(1)求的表達(dá)式；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)，比較與的大小，并加以證明.

Answer 1

（1）；（2）；（3），證明見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）易得，且有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，繼而得，經(jīng)檢驗(yàn)，所以；
在范圍內(nèi)恒成立，等價(jià)于成立，令 ，即成立，，令，得，分和兩種情況討論，分別求出的最小值，繼而求出的取值范圍；
（3）由題設(shè)知：，，比較結(jié)果為：，證明如下：上述不等式等價(jià)于
在（2）中取，可得，令，則，即，使用累加法即可證明結(jié)論.
試題解析：，，
（1）
，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)

，，即
數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列


當(dāng)時(shí)，

（2）在范圍內(nèi)恒成立，等價(jià)于成立
令，即恒成立，

令，即