Question

已知曲線y=x lnx（x＞

1

e

）在點（t，t lnt）處的切線l交x軸于點A，交y軸于點B，△AOB（O為坐標原點）的面積為S．
（Ⅰ）試寫出S關于t的函數關系式；
（Ⅱ）求面積S的最小值；
（Ⅲ）若S≥

t+1

a(1+lnt)

對于t＞

1

e

恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據曲線y=xlnx(x＞

1

e

)在點（t，tlnt）處的切線斜率為y'=1+lnt再設A（m，0），B（0，n），得出關于t，m，n的方程得

m= t 1+lnt n=-t

，從而寫出S關于t的函數關系式即可；
（2）記S=g(t)=

t2

2(1+lnt)

，先求導數S′=g′(t)=

t(1+2lnt)

2(1+lnt)2

，利用導數研究其單調性及最值，從而得出面積S的最小值為；
（3）由S≥

t+1

a(1+lnt)

，得

t2

2

≥

t+1

a

對t＞

1

e

恒成立．記u(t)=

t2

2

-

t+1

a

，求出其導數u′(t)=t-

1

a

，利用職權導數研究它的單調性，從而求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）曲線y=xlnx(x＞

1

e

)在點（t，tlnt）處的切線斜率為y'=1+lnt，（1分）
設A（m，0），B（0，n），
則

0-tlnt=(1+lnt)(m-t) n-tlnt=(1+lnt)(0-t)

（2分）
解得

m= t 1+lnt n=-t

所以S=

1

2

|mn|=

t2

2|1+lnt|

，注意到t＞

1

e

時，1+lnt＞0，
故S=

t2

2(1+lnt)

(t＞

1

e

)為所求．（4分）
（2）記S=g(t)=

t2

2(1+lnt)

，則S′=g′(t)=

t(1+2lnt)

2(1+lnt)2

，
∵t＞

1

e

，∴

1

e

＜t＜

1

e

時，S'＜0；t＞

1

e

時，S'＞0，
即函數S=g（t）在(

1

e

，

1

e

)上單調遞減，在(

1

e

，+∞)上單調遞增，（6分）Smin=g(

1

e

)=

1 e

2(1+ln 1 e )

=

1

e

，
所以面積S的最小值為

1

e

，當且僅當t=

1

e

時取到．（8分）
（3）由S≥

t+1

a(1+lnt)

，及1+lnt＞0得，

t2

2

≥

t+1

a

對t＞

1

e

恒成立．
記u(t)=

t2

2

-

t+1

a

，則u′(t)=t-

1

a

，
當

1

a

≤

1

e

，即a＜0或a≥e時，u'（t）＞0恒成立，
此時u（t）在(

1

e

，+∞)上單調遞增，∴

a＜0或a≥e u( 1 e )= 1 2e2 - 1 e +1 a ≥0

（10分）
解得a＜0或a≥2e²+2e，
當

1

a

＞

1

e

，即0＜a＜e時，u′(t)＞0?t＞

1

a

，
所以函數u（t）在(

1

e

，

1

a

)上單調遞減，在(

1

a

，+∞)上單調遞增，
此時u(t)min=u(

1

a

)=

1

2a2

-

1 a +1

a

，∴

0＜a＜e 1 2a2 - 1 a +1 a ≥0

解得a∈?，
綜上，a＜0或a≥2e²+2e為所求．（12分）

點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、導數在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于中檔題．