Question

已知曲線y=ln(x+2)+

x2

2

+2x+

1

2

在點A處的切線與曲線y=sin(2x+φ)，(-

π

2

＜φ＜

π

2

)在點B處的切線相同，求φ的值．

Answer 1

分析：分別求出兩函數的導函數，根據導函數的取值范圍可求出切線的斜率，從而求出切線方程，然后根據曲線y=sin(2x+φ)，(-

π

2

＜φ＜

π

2

)在點B處的切線相同，可求出φ的值．

解答：解：k_切=y′=

1

x+2

+x+2≥2，當且僅當x+2=

1

x+2

，即x+2=1，x=-1時，取等號…（2分）
又k_切=y′=2cos（2x+?）≤2，
由題意，k_切=2，此時切點A（-1，-1），切線l：y=2x+1…（5分）
由2cos（2x+?）=2得cos（2x+?）=1，
∴sin（2x+?）=0，從而B（-

1

2

，0）…（7分）
∴sin（-1+?）=0，-1+?=kπ，k∈Z，
∴?=kπ+1，k∈Z…（9分）
又-

π

2

＜?＜

π

2

，
∴?=1

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，同時考查了轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．