Question

7．若定義在R上的函數f（x）滿足f（0）=-1，f（$\frac{1}{m-1}$）＜$\frac{1}{m-1}$，其導函數f′（x）滿足f′（x）＞m，且當x∈[-π，π]時，函數g（x）=-sin²x-（m+4）cosx+4有兩個不相同的零點，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-8）
• B． （-∞，-8]∪（0，1）
• C． （-∞，-8]∪[0，1]
• D． （-8，1）

Answer 1

分析 設F（x）=f（x）-mx，求出導函數F′（x）=f′（x）-m，．通過f′（x）＞m，F′（x）＞0，判斷F（x）在R上單調遞增．轉化$\frac{1}{m-1}＜0$，可得m＜1．又g（x）=-sin²x-（m+4）cosx+4=0，利用設cosx=t，t∈[-1，1]，問題等價于關于t的方程h（t）=t²-（m+4）t+3=0在t∈[-1，1]上有唯一解．通過當-1＜$\frac{m+4}{2}$＜1時，當$\frac{m+4}{2}≤-1$或$\frac{m+4}{2}≥1$時，分別求解即可．

解答 解：設F（x）=f（x）-mx，得F′（x）=f′（x）-m，．∵f′（x）＞m，F′（x）＞0，∴F（x）在R上單調遞增．
∵f（0）=-1，∴F（0）=-1，∴f（$\frac{1}{m-1}$）$＜\frac{1}{m-1}$，可得f（$\frac{1}{m-1}$）-$\frac{1}{m-1}$＜-1，
即F（$\frac{1}{m-1}$）＜F（0），可得$\frac{1}{m-1}＜0$，解答m＜1．
又g（x）=-sin²x-（m+4）cosx+4=0，可得cos²x-（m+4）cosx+3=0，
設cosx=t，t∈[-1，1]，問題等價于關于t的方程h（t）=t²-（m+4）t+3=0在t∈[-1，1]上有唯一解．當-1＜$\frac{m+4}{2}$＜1時，須△=0即m=-4$±2\sqrt{3}$，矛盾；當$\frac{m+4}{2}≤-1$或$\frac{m+4}{2}≥1$時，須h（-1）h（1）＜0或h（-1）=0，即m≤-8或m＞0．（或：m=t+$\frac{3}{t}$-4，t∈[-1，1]有唯一解，得m＞0或m≤-8．）綜上，1＞m＞0或m≤-8．
故選：B．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的最值以及構造法，換元法的應用，考查轉化思想以及計算能力．