Question

某公司為了實現2013年1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數額不超過5萬元，同時獎金數額不超過利潤的25%．
（1）請指出符合公司要求的模型應該滿足的條件；
（2）現有三個獎勵模型：y=1.003^x，y=lgx+2，y=

10x

20

，問其中是否有模型能完全符合公司的要求？說明理由．（參考數據：1.003⁶⁰⁰≈6）

Answer 1

分析：（1）根據獎勵方案，將文字語言轉化為符號語言，可得符合公司要求的模型應該滿足的條件；
（2）對三個獎勵模型，結合（1）中的條件進行驗證，即可求得結論．

解答：解：（1）由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數為增函數；②函數的最大值不超過5；③y≤x•25%  …（3分）
（2）對于y=1.003^x，易知滿足①；但當x＞600時，y＞6，不滿足公司的要求…（6分）
（2）對于y=lgx+2，易知滿足①，當x∈[10，1000]時，y≤lg1000+2，
∵y≤lg1000+2-5=0，∴滿足②
但lg10+2=3＞

10

4

，
∴不滿足③，不滿足公司的要求；…（9分）
（3）對于y=

10x

20

，易知滿足①，當x∈[10，1000]時，y≤

10000

20

=5，∴滿足②
又x∈[10，1000]時，y=

10x

20

≤

5 x

20

=

x

4

≤

x

4

由此可知滿足③
綜上所述，只有獎勵模型：y=

10x

20

能完全符合公司的要求   …（12分）

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查函數模型的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．