Question

某公司為了實現2013年銷售利潤1000萬元的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案；從銷售利潤達到10萬元開始，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數額不超過5萬元，同時獎金數額不超過銷售利潤的25%．現有三個獎勵模型：，問其中是否有模型能完全符合公司的要求？請說明理由．（參考數據：1.003⁶⁰⁰≈6，e≈2.70828…，e⁸≈2981）

Answer 1

解：由題意，符合公司要求的模型需同時滿足：當x∈[10，1000]時，①函數為增函數；②函數的最大值不超過5；③y≤x•25%…（2分）
對于y=0.025x，易知滿足①，但當x＞200時，y＞5，不滿足公司的要求；…（4分）
對于y=1.003^x，易知滿足①，∵1.003⁶⁰⁰≈6，故當x＞600時，不滿足公司的要求；…（6分）
對于y=lnx+1，易知滿足①，當x∈[10，1000]時時，y≤ln1000+1…（7分）
下面證明ln1000+1＜5．
∵e⁸≈2981，
∴ln1000+1-5=ln1000-4=（ln1000-8）=（ln1000-ln2981）＜0，滿足②…（8分）
再證明lnx+1≤x•25%，即2lnx+4-x≤0，…（9分）
設F（x）=2lnx+4-x，則F′（x）=-1=＜0，x∈[10，1000]…（10分）
∴F（x）在[10，1000]上為減函數，F（x）_max=F（10）=2ln10+4-10=2ln10-6=2（ln10-3）＜0，滿足③…（12分）
綜上，獎勵模型y=lnx+1能完全符合公司的要求…（13分）
分析：由題意，當x∈[10，1000]時，模型需同時滿足①函數為增函數；②函數的最大值不超過5；③y≤x•25，對y=0.025x，y=1.003^x，y=lnx+1三個函數逐一分析即可．
點評：本題考查導數在最大值、最小值問題中的應用，構造函數F（x）=2lnx+4-x，利用導數研究其單調性與最值是關鍵，也是難點所在，突出考查轉化思想與綜合分析的能力，屬于難題．