Question

某公司為了實(shí)現(xiàn)2013年銷售利潤1000萬元的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案；從銷售利潤達(dá)到10萬元開始，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金數(shù)額不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金數(shù)額不超過銷售利潤的25%．現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.025x，y=1.003x，y=

1

2

lnx+1，問其中是否有模型能完全符合公司的要求？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：1.003⁶⁰⁰≈6，e≈2.70828…，e⁸≈2981）

Answer 1

分析：由題意，當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，模型需同時(shí)滿足①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x•25，對(duì)y=0.025x，y=1.003^x，y=

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2

lnx+1三個(gè)函數(shù)逐一分析即可．

解答：解：由題意，符合公司要求的模型需同時(shí)滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x•25%…（2分）
對(duì)于y=0.025x，易知滿足①，但當(dāng)x＞200時(shí)，y＞5，不滿足公司的要求；…（4分）
對(duì)于y=1.003^x，易知滿足①，∵1.003⁶⁰⁰≈6，故當(dāng)x＞600時(shí)，不滿足公司的要求；…（6分）
對(duì)于y=

1

2

lnx+1，易知滿足①，當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)時(shí)，y≤

1

2

ln1000+1…（7分）
下面證明

1

2

ln1000+1＜5．
∵e⁸≈2981，
∴

1

2

ln1000+1-5=

1

2

ln1000-4=

1

2

（ln1000-8）=

1

2

（ln1000-ln2981）＜0，滿足②…（8分）
再證明

1

2

lnx+1≤x•25%，即2lnx+4-x≤0，…（9分）
設(shè)F（x）=2lnx+4-x，則F′（x）=

2

x

-1=

2-x

x

＜0，x∈[10，1000]…（10分）
∴F（x）在[10，1000]上為減函數(shù)，F(xiàn)（x）_max=F（10）=2ln10+4-10=2ln10-6=2（ln10-3）＜0，滿足③…（12分）
綜上，獎(jiǎng)勵(lì)模型y=

1

2

lnx+1能完全符合公司的要求…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)F（x）=2lnx+4-x，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在，突出考查轉(zhuǎn)化思想與綜合分析的能力，屬于難題．