Question

【題目】如圖，已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，短軸端點與橢圓的兩個焦點所構成的三角形面積為1，過點D（0，2）且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在定點 ，使 恒為定值．若存在求出這個定值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據 ，

解得 ，

橢圓C的方程為

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立方程得， ，

消y得（1+2k2）x2+8kx+6=0，

則x1+x2=﹣ ，x1x2= ．

又∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣ ，

y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4= ．

∵ ，

∴ =

= ．

故 恒為定值

【解析】（1）根據橢圓的性質列方程解出a，b；（2）聯立方程組消元，得出A，B坐標的關系，代入向量的數量積公式計算即可．