Question

對一切正整數n，不等式

b

1-b

＜

n+1

n+2

恒成立，則b的范圍是（　　）

• A．(0，

  2

  3

  )
• B．(0，

  2

  3

  ]
• C．(-∞，

  2

  5

  )∪(1，+∞)
• D．(

  2

  5

  ，1)

Answer 1

分析：將條件關系式

b

1-b

＜

n+1

n+2

轉化為

1

n+2

＜

2b-1

b-1

，對b-1的正負分類討論結合題意即可解決．

解答：解：∴對一切正整數n，

b

1-b

＜

n+1

n+2

=1-

1

n+2

恒成立，
∴

1

n+2

＜1-

b

1-b

=

2b-1

b-1

，
∴①若b-1＞0，即b＞1時，2b-1＞0，
∴n+2＞

b-1

2b-1

恒成立，又n∈N^*，
∴

b-1

2b-1

＜n+2＜3，
∴b-1＜6b-3，
∴b＞

2

5

，又b＞1，
∴b＞1；
②若b-1＜0，即b＜1時，由題意得2b-1＜0，
∴

1

n+2

＜1-

b

1-b

=

2b-1

b-1

恒成立?

1

n+2

＜

1-2b

1-b

恒成立?n+2＞

1-b

1-2b

恒成立，
同理可得，

1-b

1-2b

＜3，即1-b＜3-6b，解得b＜

2

5

，而b＜1，
∴b＜

2

5

．
綜上所述，b的范圍是（-∞，

2

5

）∪（1，+∞）．
故選C．

點評：本題考查恒成立問題，著重考查轉化與分類討論思想的綜合運用，考查解不等式組的能力，屬于難題．