Question

對一切正整數n，不等式

b

1-b

＜

n+1

n+2

恒成立，則B的范圍是

b＜

2

5

或b＞1

．

Answer 1

分析：利用函數的單調性求出

n+1

n+2

的最小值，把不等式轉化為

b

1-b

＜

2

3

，求解分式不等式即可得到實數b的取值范圍．

解答：解：因為函數函數f（x）=

x+1

x+2

=1-

1

n+2

在（0，+∞）上為增函數，
所以對一切正整數n，當n=1時

n+1

n+2

有最小值

2

3

，
所以不等式

b

1-b

＜

n+1

n+2

等價于

b

1-b

＜

2

3

．
即

b

1-b

-

2

3

＜0，

3b-2+2b

3(1-b)

＜0，解得b＜

2

5

或b＞1．
故答案為b＜

2

5

或b＞1．

點評：本題考查了不等關系與不等式，考查了利用函數的單調性求函數的最值，考查了數學轉化思想方法，是中檔題．