Question

已知傾斜角為60°的直線L經過拋物線y²=4x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點，其中O坐標原點．
（1）求三角形ABO的重心坐標；
（2）求三角形ABO的面積．

Answer 1

分析：（1）直線L的方程為y=

3

(x-1)代入y²=4x得：3x²-10x+3=0，解出其A、B兩點橫坐標的和與積，算出兩點縱坐標的和，用重心坐標公式求出三角形ABO的重心坐標；
（2）由拋物線的性質求出弦長及點O到直線AB的距離，求出面積．

解答：解：（1）由題意得：直線L的方程為y=

3

(x-1)
代入y²=4x得：3x²-10x+3=0（3分）
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則：x1+x2=

10

3

，x₁x₂=（15分）
從而y1+y2=

3

(x1+x2-2)=

4 3

3

（7分）
∴△ABO的重心坐標x=

x1+x2+0

3

=

10

9

y=

y1+y2+0

3

=

4 3

9

故三角形ABO的重心坐標為(

10

9

，

4 3

9

)（8分）
（2）由（1）及拋物線的定義得：弦長|AB|=x1+x2+p=

10

3

+2=

16

3

又點O到直線AB的距離d=

|- 3 |

3+1

=

3

2

（12分）
所以三角形OAB的面積為S=

1

2

|AB|•d=

4 3

3

．（14分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，解答本題關鍵是掌握三角形的重心坐標公式以及直線與圓錐曲線相交時兩交點的坐標表示，弦長公式與點到直線距離公式的熟練使用也很重要．