Question

已知橢圓的長軸長是焦距的2倍，右準線方程為x=4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點D坐標為（4，0），橢圓C上動點Q關于x軸的對稱點為點P，直線PD交橢圓C于點R（異于點P），求證：直線QR過定點．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據橢圓的長軸長是焦距的2倍，右準線方程為x=4，可求幾何量，從而求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）先猜想定點坐標為A（1，0），再設Q（m，n），則P（m，-n），證明直線PD與直線QA的交點恒在橢圓上，從而得證．
解答：（Ⅰ）解：∵橢圓的長軸長是焦距的2倍
∴2a=2（2c），∴a=2c
∵右準線方程為x=4，∴，∴a²=4c
∴4c²=4c，∴c=1，∴a=2，∴b=
所以橢圓C的方程為：；
（Ⅱ）證明：不妨取Q（0，），則P（0，-）
∴直線PD的方程為，即
代入橢圓方程可得：5x²-8x=0
∴x=0，或x=
∴R（，-）
∴直線QR的方程為
令y=0，可得x=1，故猜想定點坐標為A（1，0）
設Q（m，n），則P（m，-n），∴直線PD的方程為：①
直線QA的方程為②
聯立①②可得，解得
代入橢圓方程的左邊可得+
∵Q（m，n）在橢圓上，∴，∴
∴+=+==1
即直線PD與直線QA的交點恒在橢圓上
故直線QR過定點（1，0）．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線恒過定點，利用先猜后證的方法，解題的關鍵是確定定點的坐標，屬于中檔題．