Question

設橢圓C的左頂點A在拋物線y²=x-1上滑動，長軸長為4，左準線為y軸．
（1）求橢圓中心的軌跡方程；
（2）求橢圓離心率的最大值及此時橢圓的方程．

Answer 1

（1）設橢圓的中心為C（x，y），左頂點為A（x₀，y₀）
∵A在拋物線上
∴

y

20

=x0-1 ①
∵橢圓長軸長為4，左準線為y軸．
∴x₀=x-2，y₀=y
代入①得y²=x-3即為所求軌跡方程．
（2）∵橢圓中心到準線的距離為

a2

c

，橢圓的中心為C（x，y），左準線為y軸
∴

a2

c

=x
∵a=2，
∴c=

4

x

∴e=

c

a

=

1

x

∵x≥3
∴當x=3時，emax=

1

3

中心為C（3，0），c=

4

3

∴b2=

20

9

∴橢圓的方程為：

(x-3)2

4

+

9y2

20

=1