Question

設橢圓C的左頂點A在拋物線y²=x-1上滑動，長軸長為4，左準線為y軸．
（1）求橢圓中心的軌跡方程；
（2）求橢圓離心率的最大值及此時橢圓的方程．

Answer 1

解：（1）設橢圓的中心為C（x，y），左頂點為A（x₀，y₀）
∵A在拋物線上
∴ ①
∵橢圓長軸長為4，左準線為y軸．
∴x₀=x-2，y₀=y
代入①得y²=x-3即為所求軌跡方程．
（2）∵橢圓中心到準線的距離為，橢圓的中心為C（x，y），左準線為y軸
∴
∵a=2，
∴
∴
∵x≥3
∴當x=3時，
中心為C（3，0），
∴
∴橢圓的方程為：
分析：（1）橢圓的中心為C（x，y），左頂點為A（x₀，y₀），根據A在拋物線y²=x-1上滑動，可得方程，再利用
長軸長為4，左準線為y軸，可得坐標之間的關系，從而求出橢圓中心的軌跡方程；
（2）根據準線方程及長軸長為4，可得離心率，由于x≥3，故可求離心率的最大值，從而可得橢圓方程．
點評：本題以拋物線為載體，考查橢圓方程，考查代入法求軌跡方程，解題的關鍵是尋求動點坐標之間的關系．